¿ Què estableix el Teorema de Bolzano?
Exemple il·lustratiu del Teorema de Bolzano
Prenguem com a exemple la funció f(x) = x³ + x − 1. Sabem que és una funció continuada perquè és polinòmica. Si avaluem la funció als extrems de l'interval , Tenim:
- f(0) = -1 (negatiu)
- f(1) = 1 (positiu)
Com que el teorema requereix que els signes siguin oposats, podem aplicar Bolzano per concloure que existeix un valor c dins l'interval (0,1) on f(c) = 0. Aquest resultat no ens diu exactament quin és aquest valor, però n'assegura la existència. A més, per a tècniques d'aproximació, pots fer servir mètodes com la bisecció que també s'expliquen al nostre apartat dedicat a teorema de Bolzano exemples i aplicacions en mètodes numèrics.
Aplicacions del Teorema de Bolzano
- Trobar arrels: És especialment útil en , que divideix intervals iterativament per aproximar l'arrel amb major precisió. Aquests procediments també estan relacionats amb els treballs de .
- Anàlisi de funcions contínues: Ajuda a comprendre el comportament de les funcions en intervals específics, identificant punts crucials com a arrels o punts crítics.
- Resolució de problemes en enginyeria: Des del disseny d'estructures fins a anàlisi de forces, el teorema es fa servir per identificar punts on es compleixen certes condicions crítiques.
- Algorismes en informàtica: S'aplica a programes d'anàlisi numèrica per resoldre equacions no lineals que no tenen solució analítica directa.
Història del Teorema de Bolzano
Demostració del Teorema de Bolzano
- dividir l'interval inicial en dues parts iguals i avaluar la funció al punt mitjà.
- determinar en quin dels subintervals el valor de la funció canvia de signe.
- repetir el procés en el subinterval seleccionat fins que s'arribi a una precisió desitjada, assegurant cada cop més que ens acostem a una arrel.
