En topologia, una branca de les matemà tiques, la ampolla de Klein és un exemple duna superfÃcie no orientable. És una varietat bidimensional per a la qual un sistema no es pot definir consistentment per determinar els vectors normals. De manera informal, és una superfÃcie d'un sol costat que, si es passa per sobre, es pot seguir fins a l'origen mentre el viatger capgira.
En aquest article explicarem tot el que has de saber sobre l'ampolla de Klein, les seves caracterÃstiques i curiositats.
caracterÃstiques principals
Altres objectes no orientables relacionats inclouen les tires de Möbius i els plans de projecció veritables. Les tires de Möbius són superfÃcies limitades, mentre que les ampolles de Klein no tenen lÃmits. L'ampolla de Klein va ser descrita per primera vegada el 1882 pel matemà tic alemany Felix Klein. Si voleu conèixer més sobre les caracterÃstiques d'altres fenòmens naturals relacionats, podeu visitar aquest article sobre com el canvi climà tic afecta fenòmens meteorològics y els efectes del canvi climà tic. També, és interessant conèixer l'impacte del fosa de les glaceres canvi climà tic.
Al Museu de Ciències de Londres s'exhibeix una col·lecció d'ampolles de vidre de Klein bufades a mà , que mostra moltes variacions sobre aquest tema topològic. Les ampolles daten de 1995 i van ser fetes per Alan Bennett per al museu.
L'ampolla de Klein per si mateix no està creuada. No obstant això, hi ha una manera de visualitzar l'ampolla de Klein continguda en quatre dimensions. Les autointerseccions es poden eliminar afegint una quarta dimensió a l'espai tridimensional. Empenyeu suaument una secció de tub que conté la intersecció fora de l'espai 3D original al llarg de la quarta dimensió. Una analogia útil és considerar una corba que interseca un pla. Les autointerseccions es poden eliminar aixecant les rosques del pla.
Per aclarir, diguem que prenem el temps com la quarta dimensió. Considereu com construir un grà fic a l'espai xyzt. La figura adjunta («Evolució en el temps…») mostra una evolució útil d'aquesta figura. A t = 0, la paret surt com un brot en algun lloc a prop de la «intersecció». Després que la figura es va fer més gran, la primera part de la paret va començar a retrocedir, desapareixent com un gat de Cheshire, però deixant enrere el seu ampli somriure. Quan el front de creixement arriba on hi ha el brot, no hi ha res a creuar i el creixement es completa sense perforar l'estructura existent.
Propietats de l´ampolla de Klein
Un matrà s de Klein és una superfÃcie no orientable que sovint es representa com un matrà s de coll llarg amb un coll corb que es passa des de l'interior per obrir-se com a base. La forma única de l'ampolla de Klein vol dir que té una sola superfÃcie: l'interior és igual a l'exterior. Una ampolla de Klein en realitat no pot existir en un espai euclidià tridimensional, però una representació de vidre bufat ens pot donar algunes idees interessants. Aquesta no és una ampolla de Klein real, però ajuda a visualitzar el que va imaginar el matemà tic alemany Felix Klein quan se li va acudir la idea de l'ampolla de Klein.
Si adjunteu el sÃmbol a una superfÃcie orientable, com l'exterior d'una esfera, mantindreu la mateixa orientació sense importar com el mogueu. La forma especial de l'ampolla de Klein us permet lliscar el sÃmbol en diferents direccions: pot aparèixer com una imatge especular de si mateix a la mateixa superfÃcie. Aquesta propietat de l'ampolla de Klein fa que sigui impossible orientar-la.
L'ampolla de Klein porta el nom del matemà tic alemany Felix Klein. El treball de Felix Klein en matemà tiques el va familiaritzar molt amb les tires de Möbius. Una tira de Möbius és un full de paper que es gira mitja volta i es connecta d'extrem a extrem. Aquest gir converteix un full de paper ordinari en una superfÃcie no orientable. Felix Klein va raonar que si unia dues tires de Möbius al llarg de les vores, crearia un nou tipus de superfÃcie amb les mateixes estranyes propietats: una superfÃcie de Klein o una ampolla de Klein.
L'ampolla de Klein es descriu com una superfÃcie no orientable perquè si s'adjunta un sÃmbol a la superfÃcie, podeu lliscar de manera que podeu tornar a la mateixa posició que una imatge especular.
Es pot fer una ampolla de Klein a la vida real?
Desafortunadament per a aquells de nosaltres que volem veure ampolles de Klein reals, no es poden construir a l'espai euclidià tridimensional on vivim. Connectar les vores de dues tires de Möbius per construir un matràs de Klein crea interseccions que no existeixen als models teòrics. El model real de l'ampolla de Klein va haver de passar per sobre de si mateix quan el coll va sortir pel costat. Això ens dóna una cosa que en realitat no és una ampolla de Klein funcional, però aixà i tot és divertit d'examinar.
Atès que els flascons de Klein comparteixen moltes propietats estranyes amb les tires de Möbius, aquells de nosaltres que no tenim un coneixement profund de les matemà tiques per comprendre realment les complexitats dels flascons de Klein podem provar les tires de Moebius, de Felix Klein Troba fascinant. A més, si estàs interessat en l'impacte del canvi climà tic en la fosa de les glaceres, pots llegir sobre com el i els detalls sobre el projecte multimilionari a la Xina relacionat amb l'aigua.
SuperfÃcie de Klein
Clifford Stoll és l'home darrere del disseny d'aquesta ampolla gegant de Klein, que fa 106 cm d'alçada, 62,2 cm d'amplada i 163,5 cm de circumferència. Va ser construït per Kildee Scientific Glass entre 2001 i 2003.
El nom original de l'objecte no era Klein Flask (alemany Kleinsche Flasche), sinó Klein Surface (alemany Kleinsche Fläche). La traducció del primer objecte de referència de l'alemany a l'anglès va confondre paraules. A causa de l'aparença de la representació 3D que recorda una ampolla, gairebé ningú no va notar l'error.
Si dividim l'ampolla de Klein en dos al llarg del pla de simetria, creem dues tires de Möbius, cadascuna de les quals és una imatge especular de l'altra (com si una es mirés en un mirall). Aleshores, una ampolla de Klein és un exemple d'una superfÃcie no orientable, com ho és una tira de Möbius. No té cap altra funció que la de representar-ho. Les superfÃcies orientables o no orientables són conceptes topològics. Tots dos són exemples de superfÃcies amb una sola cara, ja que no són orientables. La seva mà gia rau en poder cobrir-ho del tot de forma totalment contÃnua, abastant tots els punts que el formen.
Espero que amb aquesta informació pugueu conèixer més sobre l'ampolla de Klein i les seves caracterÃstiques.
